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= = =**Universidad Autónoma de Querétaro** =



**Facultad de Ingeniería**
Oscar Uriel Acevedo Leal Raúl Arteaga Trejo Grupo 2

1.-Si R es el evento de que un convicto haya cometido un asalto a mano armada y D el de que promoviera el uso de las drogas, exprese en sus propias palabras que probabilidades se indica n como: a) P(R | D); indica la probabilidad de que un convicto haya cometido un asalto a mano armada dado que promoviera el uso de drogas. b) P(D'| R); de acuerdo con la indicación en D como el evento de que un convicto promoviera el uso de drogas y que D' es el complemento de D, es decir, es el evento que se da si D no ocurre, entonces podemos decir que indica la probabilidad de que un convicto no haya promovido el uso de drogas dado que cometió un asalto a mano armada. c) P(R' | D') interpretando la simbología encontramos que ambas partes son complementos de los eventos, entonces podemos decir que indica la probabilidad de que un convicto no haya cometido un asalto a mano armada dado que tampoco promoviera el uso de drogas.
 * Ejercicios pag. 35-37**

7.-Se saca una carta de un paquete normal y se dice que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 2 pero menor que 9? Tenemos un espacio muestral de 52 cartas, de cuatro tipos diferentes; corazones rojos(Cr), daimantes rojos (Dr), tréboles negros (Tn) y espadas negras (En), cada tipo con 13 cartas, como las cartas rojas corresponden a los corazones y a los diamantes tenemos que hay 26 cartas rojas en total, 13 dimantes y 13 corazones, por lo tanto existe ((26)/(52)) de probabilidades de que sea una carta roja, de este total 12 son las cartas que cumplen con las condiciones, es decir ((12)/(52)), entonces el evento A lo definimos como la carta que se sacó entre 2 y 9 A={3,4,5,6,7,8} P(Cr)∩P(Dr) = (((12)/(52)))(((12)/(52)))= (9/(169)) entonces la probabilidad de que la carta sea mayor que 2 pero menor que 9 es igual a (9/(169))


 * Ejercicios pags. 17-19 libro Walpole**

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1.- A los participantes en una convención se les ofrecen 6 recorridos por día para visitaar lugares de interés durante los tres días de duración del evento. ¿en cuántas formas puede una persona acomodarse para hacer alguno de ellos?=====

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 2.- En un estudio médico, los participantes se clasifican en 8 formas diferentes de acuerdo con su tipo de sangre, AB⁺,AB⁻,A⁺,A⁻,B⁺,B⁻,O⁺ u O⁻, y su presión sanguínea (baja, normal o alta). Encuentre el número de formas posibles para clasificar a un paciente. =====

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tenemos 2 grupos para Paciente: el grupo de presión (el cual consta de 3 elementos ) n₁=3 y el de los tipos sanguíneos (con 8 elementos) n₂=8, entonces tenemos que la multiplicación de estos dos nos dará las formas posibles de clasificación de un paciente; n₁∗ n₂=24=====

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4.- Los estudiantes de un colegio privado de Humanidades se clasifican como estudiantes de primer año, de segundo, de penúltimo y de ultimo, también de acuerdo con su sexo: hombres o mujeres. Encuentre el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de este colegio.=====

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5.- Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en cuatro colores distintos para cada uno. Si la zapatería desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores cuantos pares diferentes deberán colocar en el aparador. =====

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7.- Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los clientes prospectos para la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar cualquiera de 4 diseños diferentes, 3 sistemas de calefacción, cochera con puertas, o sin ellas,, y patio o pórtico. ¿Cuántos planes distintos están disponibles para el comprador? =====

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8.- Puede comprarse un medicamento para la cura del asma ya sea líquido, en tabletas o en cápsulas, a 5 diferentes fabricantes, y todas las presentaciones en concentración regular o alta. ¿En cuántas formas diferentes puede un médico recetar la medicina a un paciente que sufre de este padecimiento? =====

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9.- En un estudio de economía de combustibles, se prueban 3 carros de carretera con 5 diferentes marcas de gasolina, en 7 sitios de prueba en distintas regiones del país. Si se utilizan 2 pilotos en el estudio y las pruebas ser realizan una vez bajo cada conjunto de condiciones ¿Cuántas se necesitaran? =====

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Explicación: Si una operación puede realizarse en n₁ formas, y si para cada una de éstas puede efectuarse en una segunda en n₂ formas, y para cada una de las dos primeras se puede efectuar una tercera en n₃ formas, y así, sucesivamente, entonces la secuencia de k operaciones puede hacerse en //n1,n2,n3... nk// formas. =====

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13.- Un testigo de un accidente de transito en el que el causante huyo, le indica al policía que el numero de matricula del automóvil tenia las letras RLH seguidas por 3 dígitos, el primero de los cuales era un 5. Si el testigo puede recordar los otros dos dígitos pero esta seguro de que los 3 eran diferentes, encuentre el numero máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía =====

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n₁=6,n₂=5,n₃=4,n₄=3,n₅=2,n₆=1 es decir que hay n₁∗ n₂∗ n₃∗ n₄∗ ,n₅∗ n₆ maneras de que se puedan formar las personas para subir al autobús, entonces; 6x5x4x3x2x1= 720=====

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Las 3 personas que van juntas se pueden permutar y formarse de 3*2*1 = 6 formas y las personas que restan se pueden formar de 3*2*1= 6 formas, y ademas las 3 personas juntas se pueden formar en 4 posiciones para que cumplan con la restriccion de ir una tras de otra, por lo tanto tienes 36 formas para cada posicion y cuatro posiciones;=====

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Ya que se pueden acomodar los hombres 24 formas diferentes (hay que contarlas) y las mujeres también. Así que la multiplicación entre ambos es el resultado =====

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22.- Se sacan tres boletos de la lotería, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercer premio. Encuentre el número de puntos muestrales en S para otorgarlos si sólo un concursante conserva un boleto. =====

25.-¿Cuántas permutaciones distintas pueden hacerse con las letras de la palabra infinito? 8!/(3!*2!)=3360

26.-¿En cuántas formas pueden plantarse, a lo largo de la línea divisora de una propiedad, 3 robles, 4 pinos y 2 arces, si no se distingue entre los árboles de la misma clase? 9!/(4!*3!*2!)=1260

28.-Nueve personas salen de viaje para esquiar en 3 vehículos cuyas capacidades son, 2, 4, y 5 pasajeros, respectivamente ¿En cuántas formas es posible transportar a las 9 personas hasta el albergue con todos los vehículos? 9C1*8C3*5C5 +9C1*8C4*4C4+9C2*7C3*4C4+9C2*7C2*5C5+9C2*7C4*3C3 = 9*56*1 + 9*70*1 + 36*35*1 + 36*21*1 + 36*35*1 =4410

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30.- Es un estudio que realizaron en California, el decano Lester Breslow y el James Ensversity of California en Los Ángeles, se concluyó que al seguir 7 sencillas reglas de salud, la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 años y la de las mujeres 7. Estas reglas son:=====

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Ahora no tomares las 7 ya que se elimina la de bebidas alcohólicas y como en el menú siempre estará el desayuno. Habrá 6 opciones y elegiremos 4 de ellas. Pero como existe repeticiones hay q restárselas.=====

[[image:22.gif]]y de estas combinaciones se repiten 5 entonces se las restamos y nos da como resultado final. 10
R:10

Introducción Una de las distribuciones teóricas mejor estudiadas en los textos de bioestadística y más utilizada en la práctica es la **distribución normal**, también llamada **distribución gaussiana**. Su importancia se debe fundamentalmente a la frecuencia con la que distintas variables asociadas a fenómenos naturales y cotidianos siguen, aproximadamente, esta distribución.

  Caracteres morfológicos (como la talla o el peso), o psicológicos (como el cociente intelectual) son ejemplos de variables de las que frecuentemente se asume que siguen una distribución normal. UNIDAD 6: MODELOS PROBABILÍSTICOS BÁSICOS <span style="color: #04617b; direction: ltr; display: block; font-family: Calibri; font-size: 28pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.36pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">**“DISTRIBUCIÓN NORMAL”** <span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.36pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">**<span style="color: #04617b; direction: ltr; display: block; font-family: Calibri; font-size: 28pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">  La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la **"campana de Gauss" Propiedades de la distribución normal <span style="color: #04617b; direction: ltr; display: block; font-family: Calibri; font-size: 28pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">**  Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana. ****  La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Es por ello, cualquier valor entre - ¥ y + ¥ es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1. ****  ****  Es simétrica con respecto a su media m. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. ****  ****  El área bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo (μ-1.96σ ; μ+1.96σ). ****  ****  La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica ( s ). Cuanto mayor sea s, más aplanada será la curva de la densidad. **
 * . La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por m y s . **

<span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">**<span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">  La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo m. La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a s, la desviación standard de la población. **

<span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">  No existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la **distribución normal estándar**, que a u na distribución de media 0 y varianza 1. Así, la expresión que define su densidad se puede de la Ecuación: <span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><span style="color: black; font-family: Constantia; font-size: 16pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: 0pt; text-transform: none; vertical-align: baseline;">como el exponente es el que determina la poosicion de la grafica y también la probabilidad normal <span style="color: black; font-family: Constantia; font-size: 16pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: 0pt; text-transform: none;">podemos simplificarla de la siguiente manera: ﻿ La ecuación que determina la curva en forma de campana. Así, se dice que una característica X sigue una distribución normal de media m y varianza s, y se denota como <span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.36pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"> Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son y (Media y desviación standard de la población). Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por la desviación standard).

a partir de esto __ **se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor Z** __, y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal.

**Cálculo de probabiladades en distribuciones normales**

<span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">  La **tabla** nos da las **probabilidades de P(z ≤ k)**, siendo **z** la variable tipificada.  Estas probabilidades nos dan la **función de distribución Φ(k)**. <span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;"> entonces: <span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;"> **Φ(k) = P(z ≤ k)**

<span style="color: #04617b; direction: ltr; display: block; font-family: Calibri; font-size: 28pt; font-weight: normal; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">tablas

<span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"> Áreas bajo la curva normal estándar. <span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"> Los valores de la tabla que no se muestran en representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a z. La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera de la tabla.

**P(Z ≤ a)**

<span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">**P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)** <span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;"> **P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z** **≤ a)**

<span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">**P(Z > −a) = P(Z ≤ a)**

<span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;"> **P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)** 

<span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">**P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )**

<span style="direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 21px; line-height: 32px; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">**P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]**

<span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">**p = K**

<span style="color: #04617b; direction: ltr; display: block; font-family: Calibri; font-size: 28pt; font-weight: normal; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">ejemplos <span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">  En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. solución <span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; font-weight: normal; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;"> **P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a) sabiendo que: P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)**

<span style="direction: ltr; display: block; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">  Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?

<span style="color: black; direction: ltr; display: block; font-family: Constantia; font-size: 16pt; line-height: 0px; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 3.84pt; overflow: hidden; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed;">**﻿**